Momentum, canicas, y el vacío de la vida

Existen personas para las cuales una de las fuentes más grandes de satisfacción es el entender un problema o un concepto. La complejidad de estos objetos (problema, concepto) no necesariamente  debe ser alta para obtener un cierto grado de satisfacción. Particularmente, la física y la matemática son dos ciencias donde una mente hambrienta y un espíritu bien templados pueden encontrar horas de diversión, o todo una vida inclusive.

El objetivo de este episodio es precisamente exponer un concepto de la física que puede llegar a ser difícil de comprender: la "conservación del momento lineal". Antes de dar una definición, diremos que éste se trata de una cantidad escalar asociada a un objeto, y que puede ser medida. Ejemplos de cantidades escalares que cumplen con esta propiedad son: la temperatura (medida con un termómetro), el largo (medido con una regla), la textura de una tela (medida con ... 😅 ), no, las texturas no. De hecho, a una textura no parece ser evidente asociarle un escalar, invitamos al lector a intentar definir "textura" y buscar una manera de contradecir al autor.

Para medir el momento lineal de un objeto necesitamos medir dos escalares. Así, el momento lineal es una propiedad compuesta, o derivada. En efecto, necesitamos medir la masa inercial del objeto, que en adelante llamaremos simplemente masa, y su velocidad. Para medir la masa podemos usar una pesa (o balanza) y para medir su velocidad usamos reglas y un reloj (una regla muy larga). Imagino que un lector estará pensando que necesito introducir aquí el concepto de sistema de referencia y coordenadas (muy listillo, hum!). Para no complicarnos aquí restringiremos el objeto a moverse en línea recta como en el siguiente dibujo:

Figura 1

Podemos ver que en el instante t=0 s nuestro ¿cubo? se encontraba en x_1 = 0 m y al instante t = 4 s lo hacía en x_1 = 1 m. Así, suponiendo que el objeto se mueve a velocidad constante, concluimos que su velocidad es de 0.25 m/s. Cada segundo, el bloque recorre 25 cms, o 0.25 m.

Estimado lector, acá debo introducir una advertencia: lo que el relajado autor está describiendo como la velocidad es en realidad la rapidez, que es un escalar, es decir, se puede representar por un número. La velocidad de un objeto es un vector, es decir un escalar + una dirección. Pero como en este caso sólo tenemos una dirección de movimiento posible, la vida se hace más simple.

Bien, estamos en condiciones de definir momento lineal del hermoso cubo de la Figura 1. Diremos que el momento lineal es el producto de la masa de un objeto por su velocidad. Es decir:

Esa flechita que ponemos encima es para indicar que el objeto es un vector (y para evitar problemas con algunos puristas). Ahora estamos listos para enunciar el principio de conservación del momento lineal. Éste puede ser visto como una consecuencia de la Segunda Ley de Newton, que se puede leer como "la derivada en tiempo del momento lineal es igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un objeto":

Y así es como te veo cerrando la pestaña del explorador... nooooooo! Te prometo que no es complicado. Para este post, diremos que el lado izquierdo de esta ecuación es la tasa de cambio del momento lineal por unidad de tiempo, o sea, similar a como definimos la velocidad (tasa de cambio de la posición por unidad de tiempo)! Mientras que el lado derecho es la suma de las fuerzas externas. Por fuerzas externas entenderemos toda fuerza que no provenga de interacciones de un sistema con sus partes constituyentes. Ejemplo de fuerza externa: En el sistema "puerta de mi casa", un ejemplo de fuerza externa es la que ejerzo con mi mano para poder abrirla. Ejemplo de fuerza no externa: la fuerzas de cohesión que unen las moléculas de la puerta.

Supondremos que la suma de las fuerzas externas del sistema que estudiamos es nula. Ahora, introduzcamos más símbolos maso... símbolos auxiliares:

Aquí acaban de pasar varias cosas: Primero definimos "delta" P, la diferencia del momento lineal entre el instante t_1 y el instante t_2. Simple, no? La resta de esos dos momentos. En la segunda línea, considerando la suma de las fuerzas externas como nula, concluimos que la tasa de cambio en el tiempo es nula (aplicamos la 2da Ley). Así, llegamos a que P es una constante en el tiempo y por tanto P en el instante t_1 es igual a P en el instante t_2. ¿Dolor de cabeza? Recuerdo mis primeras clases de física en la universidad, así que te comprendo bien, muy bien. Repasemos todo una vez más:

1. Suponemos que la suma de las fuerzas externas es nula (lado derecho de la 2da Ley)
2. Concluimos que la tasa de cambio de P en el tiempo es nula. Luego P es constante en el tiempo.
3. Habiendo definido "delta" P como: "delta" P = P(t_1) - P(t_2). Ya que P debe ser constante en el tiempo tenemos  P(t_1) = P(t_2)

Hemos concluido entonces que en ausencia de fuerzas externas un sistema conserva su momento lineal.

¡Ahora es donde la cosa se pone divertida!

Supongamos que un buen día de invierno Pedrito va camino a su casa con un saco de canicas que acaba de traer de la casa de su abuela. Sí, el autor es muy original. Pedro camina cerca de un lago congelado cuya superficie es extremadamente lisa. Distraído de la vida, reflexionando en la inmortalidad del cangrejo, nuestro héroe tropieza con una hormiga cabezona (chiste local). Tras tropezar, Pedro va a dar al lago, que es tan liso que no le permite detenerse. Claro está, Pedro no soltó la bolsa de canicas, pues entonces el título de este post no tendría sentido. Pedro al caer e ir a dar al lago congelado obtuvo un momento lineal P. Pedro ha leído mucho de física y sabe que él forma un sistema que se puede describir (burdamente) como S = "Pedro + canicas" = "P + C".

Mi estimado lector: en el sistema S, Pedro a debido ejercer una fuerza para no dejar escapar el saco de canicas. ¿Esa fuerza es externa o interna al sistema S?

Volviendo a Pedro el sabelotodo. Él conoce el principio de conservación del momento e idea un plan para volver a la orilla. Toma una canica, apunta en dirección contraria a la orilla y ¡dispara!. "Pedro ha usado disparo, no ha sido efectivo". Pero Pedro es paciente, apunta de nuevo con otra canica (con el dolor de su corazón) y dispara. Así, Pedro repite el proceso hasta que su velocidad apunta (es un vector) hacia la orilla. Como no tiene prisa (pese a estar congelándose, sí, listillo tú lector). Pedro se queda con las canicas restantes, llegando a la orilla en un tiempo finito.

Antes de proceder a explicar lo que ha ocurrido con Pedro. Quiero hacer unas preguntas al lector:

• En el proceso descrito, ¿mencionamos en algún momento qué ocurrió con las canicas una vez que Pedro las soltó?
• Le parece relevante que Pedro haya estado en la atmósfera terrestre (caso extremo, suponga que Pedro contaba con tanque de oxígeno).
• ¿Cuántos gramos pesaba cada canica?
• Solo para aclarar que no pude evitar la broma en la pregunta anterior.

Procedemos a explicar el razonamiento de Pedro a partir del Principio de conservación del momento.

Si la masa de Pedro es M...

Sí. No he escrito un número. Representaremos la masa de Pedro por un símbo "M"... cuánto vale M, si 3 Kg, 1 Ton, 20 gramos, 2 Kg de plumas. No nos interesa, al menos no por ahora, y mientras escribo estoy rezando porque eso continúe así.

Siguiendo. Pedro, de masa M, viaja hacia la derecha junto con sus canicas. Cada canica es idéntica y de masa m (m pequeña). Vea la situación la siguiente obra de arte de autor anónimo:

Que sí, que Pedro está caído, y eso es un saco de canicas. Cuando Pedro arroja una canica, el momento lineal debe conservarse, pues no hay fuerzas externas actuando sobre el sistema S (el héroe+las canicas). Vamos primero a introducir algunas variables: 

v_0 es la velocidad que Pedro adquirió (junto con las canicas) al caer en desgracia. v_1 es la velocidad de Pedro después de arrojar la primera canica. v_2, después de arrojar la segunda. Suponemos que Pedro hace que cada canica arrojada obtenga una velocidad V_c.

Querido lector, sé que estamos en un mundo apresurado. Pero te quiero pedir lo siguiente: de poder, anota todas estas variables en un cuaderno e intenta descubrir cuánto vale v_1 (que es lo que mostraré a continuación).

Vamos allá. Gracias al Principio de Conservación del Momento Lineal, tenemos:

Vamos, que queda poco. A desgranar este bosque de símbolos. La primera linea es sencilla. El momento lineal del sistema "S", o sea, de Pedro más las canicas, debe ser igual al momento lineal de Pedro más las canicas restantes, luego de haber arrojado la primera canica. Debemos expresar esos dos momentos en función de nuestras variables. Si a continuación descubres que cometiste un error, no desanimes! es normal. En este preciso momento yo me estoy preguntando sino la habré cagado.

Para escribir P_0, basta con pensar que la masa total de "S" es igual a la masa de Pedro más la masa de todas las canicas. La masa de todas las canicas es N veces m. P_0 es el producto de la masa total de "S" veces su velocidad, v_0. Eso debe ser igual a P_1.

Escribir P_1 es un desafío. He aquí donde tu intelecto debe dar un pequeño salto. Puede demorar, eso no importa (salvo que el examen sea mañana). La cosa es vencer esa barrera. Vamos allá: Tras lanzar la canica, Pedro tiene N-1 monedas. Luego la masa de "Pedro más monedas restantes" es igual a

(N-1)*m+M

Pero P_1 no es el momento de "Pedro más monedas restantes". P1 es el momento del sistema "S", así que debemos sumar (¿Por qué? cuando un sistema se compone de varios objetos, ¿Hace sentido decir que su momento es la suma de los momentos de cada parte?) el momento de la moneda que salió disparada al infinito y más allá. Eso es lo que vemos en el lado derecho de la segunda línea.

Ahora solo resta despejar v_1, que es lo que se ha hecho en la última línea. Introduje esa "M" curva solo por estética. Por ahora, lo importante es lo que está entre corchetes. Aquí debo confesar uno de mis pecados. Quité las flechitas que indicaban <vector> en pro de dejar el resultado más fácil de comprender. Como se puede ver, v_1 es una resta de dos números positivos. Veamos v_1 de cerca de nuevo:

Aquí es donde nuestra cabeza va a explotar. Sabemos que V_c es positivo (más aún, V_c es mayor que v_0, lo que se escribe V_c > v_0) porque Pedro no es ningún tonto. El arrojó la canica en sentido contrario hacia donde quiere ir (y en su cabeza ya hizo todos estos cálculos, y consideró la velocidad del viento, y la alineación de los planetas... el muy cabrón). Ahora bien, ¿Qué es V_c? La velocidad de la piedra, claro, así la definimos, dah. Pero, en serio, qué es V_c, ¿Cómo la determinamos? ¿Nos hace falta otra ecuación? Quiero dividir este análisis en dos hechos: el primero, V_c estará íntimamente ligado a la energía que Pedro debió gastar en arrojar la canica. Esa energía dependerá de su capacidad muscular (hablaremos del concepto de energía en algún post futuro). Así que en principio V_c puede ser cualquier cosa, depende de la capacidad del sistema. Digo esto para que se observe que, por tanto, es posible que v_1 resulte ser negativa! Con lo que Pedro ya estaría yendo hacia la orilla. Debo confesar que lo que acabo de escribir debe ser madurado con el tiempo, pero he ahí el proceso eterno del aprendizaje.

Pero, como mencionamos antes "Pedro ha usado disparo, no ha sido efectivo", aunque lo justo es decir que no fue "tan efectivo". Lo que nos lleva al segundo hecho. Aquí desafío nuevamente al lector. Hambriento por jugar con estos objetos abstractos: ¿Puede el lector demostrar que v_1 es menor que v_0?. Dicho de otra forma, demostrar que Pedro por lo menos logró disminuir su velocidad. Puedes enviarme un correo con tu prueba a geodesicos@gmail.com

Para finalizar, el título de este post menciona la palabra "vacío". Pues bien, ¿Recuerdas las primeras preguntas que hice al principio de este post? Esas preguntas apuntan a lo siguiente: en este post mostramos que un cohete a propulsión sí puede funcionar en el vacío. El motor a propulsión no es más que Pedro arrojando muy rápidamente (o continuamente) canicas en la dirección contraria a la que quiere ir. A Pedro poco le importaba qué iba a ocurrir con la canica una vez expulsada (léase: si chocaba con alguna pared o algo por el estilo), ni le importaba el aire que lo rodeaba (pues era un lindo día sin viento. Sí, lo pensaste, pillo).